El Museo Botero como herramienta para el maestro y como una extensión del aula escolar.

Áreas de estudio:

Ciencias naturales y educación ambiental

Matemáticas

Música

Artes visuales

Lengua materna y literatura

Ciencias sociales

Jean Baptiste - Camille Corot
Gitana con pandereta
1862
Óleo sobre lienzo
59 x 38 cm.




Pierre – Auguste Renoir
Paisaje de L'Ile de France
1883
Óleo sobre lienzo
54 x 65 cm.




Joan Miró
El disco rojo persiguiendo a la alondra
1953
Óleo sobre lienzo
129 x 96 cm.




Pablo Picasso
Hombre sentado con pipa
1969
Óleo sobre lienzo
160 x 130 cm.




Robert Rauschenberg
Singe (Salvage Series)
1984
Acrílico sobre lino
213 x 86 cm.




Fernando Botero
Monalisa
1977
Óleo sobre lienzo
183 x 166 cm




Fernando Botero
Una familia
1989
Óleo sobre lienzo
241 x 195 cm.




Max Ernst
La más bella
1967 - 1997
Bronce 3/7
183 x 33 x 40 cm.

Área de estudio:
Matemáticas

I. INTRODUCCIÓN

• El proceso de aprendizaje en las matemáticas

El aprendizaje de las matemáticas aborda en principio problemas relativos a los números, cantidades y magnitudes, a las propiedades del espacio y las figuras, pero también a los distintos tipos de relaciones posibles que pueden servir para formalizar las estructuras del universo natural, social y cultural. Exhorta a los estudiantes a reconstruir los conceptos matemáticos a partir de sus vivencias, mediante un lenguaje simbólico que les permita poner en juego su intuición numérica, su pensamiento analítico y argumentativo, y su capacidad de síntesis de manera coherente, clara y precisa, para encontrar soluciones.

El placer estético que producen las matemáticas puras, y el papel en la composición (y en la apreciación) de una obra artística, no se deben confundir. Muchos matemáticos han asimilado el placer de la comprensión de un complejo problema que pueden encontrar en una obra artística, lo que no sería igual al gusto de simplemente “pasar por delante” de un cuadro. Sino justamente sería el placer de “dejarse poseer” por el cuadro, de estar allí y, de alguna manera, sentir con emoción cómo todas las piezas encajan. Un error común está en suponer que el arte es divertido y las matemáticas aburridas, pero así como alguien puede aburrirse en una exposición, a muchos puede parecerles lo más divertido del mundo resolver un problema matemático.

Cuando los estudiantes observen meticulosamente la configuración de las obras de arte, pueden descubrir y concentrarse en el estudio de valores matemáticos y visuales como el equilibrio de formas y espacios, el orden (o caos) de las figuras, las simetrías y distintos patrones que allí pueden encontrar. También dedicarse a observar el diverso papel que juegan las proporciones y las distancias, o intentar descifrar la ilusión de la perspectiva, esa técnica donde se conjugan, quizá de inmejorable manera arte y matemáticas.

Por otro lado, matemáticas y arte se encuentran por su forma extrema (y particular) de aproximarse al mundo. Tanto una como otra comparten esa aura de abstracción, de distanciamiento de lo inmediatamente concreto. Cada una de una manera diferente, pero ambas se interesan por las formas puras: la línea, el punto, las áreas, los volúmenes. Y en las dos el tema de la representación cumple un papel crucial. Es importante recalcar el papel que juegan los esquemas y los diagramas en el trabajo matemático, y la profunda reflexión del artista en las distintas posibles configuraciones de las formas y los colores que le posibilitan sus herramientas en el transcurso de la creación de su obra.

Una manera interesante de integrar matemáticas y arte puede ser asumir una obra como un problema para resolver. Plantear interrogantes que sólo puedan ser resueltos una vez las claves hayan sido interpretadas de manera matemática.

• El mundo matemático y la creación artística

Veamos esquemáticamente algunos hitos que ejemplarizan el entrecruzamiento de matemáticas y arte a lo largo de la historia de la cultura occidental.

Pitágoras en el siglo VI a. C. quien también era músico y místico, concibió el universo como una creación bella por estar matemáticamente ordenada y pensó que la música y la matemática eran caminos de iluminación. La Escuela Pitagórica formuló la proporción áurea, una particular relación entre magnitudes que fue considerada de carácter místico, y desde entonces fue tenida en cuenta a la hora de componer sus obras por muchos artistas plásticos de Occidente, especialmente en el Renacimiento. Por su parte, también en la Grecia clásica, el escultor Polícleto formuló por primera vez un canon de belleza basado en relaciones de proporción y ritmo entre las partes del cuerpo, que materializó en su escultura del atleta victorioso Doríforo. En la Roma antigua encontramos que el conocimiento y desarrollo de la geometría les posibilitó a los arquitectos aplicar nuevas técnicas y hacer construcciones arriesgadas, equilibradas y bellas que aún subsisten en perfecto estado, como es el Panteón o templo de los dioses en Roma.

Siglos después, en el Renacimiento, se desarrolló la ciencia de la perspectiva. El arquitecto y artista Bruneleschi planteó las leyes fundamentales, integrando la óptica y la geometría. La perspectiva resultó determinante, tanto en los nuevos proyectos arquitectónicos como en un giro que se hizo de la representación pictórica. Gran parte de los cuadros pasaron a reproducir espacios tridimensionales en los que la matemática no se agotó en la configuración del espacio, sino que se hizo presente en la atención que se prestó al uso de las proporciones y las simetrías. El pintor alemán Alberto Durero es famoso, tanto por su obra artística como por sus tratados en los que ilustra de manera inmejorable las técnicas matemáticas que utiliza. Leonardo Da Vinci, quizás el artista renacentista con el espíritu científico más moderno, consignó en sus miles de manuscritos tanto sus estudios meticulosos de la anatomía humana y animal como sus estudios físicos y matemáticos. Las proporciones reales e ideales fueron motivo de reflexión constante de todos estos artistas, ingenieros y científicos.

A principios del siglo XX la pintura se liberó de la necesidad de crear la ilusión de espacios tridimensionales, aparecen los artistas “abstractos” como Kandinsky para quien fundamentalmente un principio de orden y de armonía interior del espíritu humano debía penetrar de manera ‘pura’ la representación pictórica, teniendo por ejemplo el triángulo como figura clave, y Mondrian quien llega al estilo que lo caracteriza, poco a poco, luego de ir sintetizando la representación de objetos naturales como los árboles. Estos artistas quisieron incursionar en una ‘nueva armonía estética’ representando relaciones puras de índole matemática. En ellos la geometría renueva su interés para la pintura de una manera diferente, se hace un énfasis en las formas puras, y se privilegian los objetos de la geometría euclideana: cuadrados, triángulos, líneas rectas.

Pero la geometría no sólo se ocupa de cuadrados y triángulos. Es más, todas las figuras posibles interesan a la matemática, y en gran medida el análisis (y el cálculo) trata de buscar la manera de representar mediante funciones las infinitas curvas posibles. Pero la matemática no se restringe al plano, sino también a los espacios de las distintas dimensiones y de las configuraciones de los puntos establecidos en él. La topología es justamente la disciplina encargada de esto. Cuál no sería la sorpresa al encontrar que algunos de los objetos en los que los geómetras y topólogos estaban pensando eran motivo de la pintura del holandés M. C. Escher. En su pintura encontramos una reflexión sobre el espacio y nuestra percepción del mismo, sobre los límites hacia los que puede ser llevada la perspectiva y cómo ésta puede ser usada también para “engañarnos” construyendo imágenes que parecen representar espacios, pero que bien miradas muestran construcciones irrealizables. Es interesante notar cómo en su trabajo también hay un estudio de las posibilidades de las simetrías, que continúan una profunda relación entre matemáticas y arte en un mundo que no hemos tenido en cuenta en este recuento: los árabes y sus fascinantes composiciones planas.

Un universo de imágenes innovadoras y hasta ahora impensadas se hace posible hoy gracias a los computadores. Por ejemplo, están los fractales, esas composiciones infinitamente complejas en los que cada detalle es tan rico como el todo. Son imágenes que sólo pueden ser concebidas matemáticamente y representadas gracias a los computadores. Pero no sólo eso, la mayor parte de las películas animadas y de los juegos de video se apoyan en programas que sólo han sido posibles gracias a la reconstrucción matemática de las figuras.

II. DIÁLOGOS CON EL ARTE

Estos ejercicios se plantean, o bien como actividad aislada que puede durar una o varias sesiones, o como didáctica que hace parte de un proyecto de aula o de un programa semestral.

A. Ejemplo 1. Copiando la realidad. Cómo copiar un cuadro de manera exacta

Ejercicio para desarrollar con estudiantes de 5º (de 10 a 12 años).

Se plantea, o bien como actividad aislada que puede durar una o varias sesiones, o como didáctica que hace parte de un proyecto de aula o de la programación del semestre.

1. TEMAS DE EXPLORACIÓN A PARTIR DE LA MUESTRA:¹

- Lo espacial y la Geometría. Un problema: jugar con las proporciones de las formas de una obra de arte.

- Las medidas: proporciones de varias formas artísticas en distintas áreas

- La organización y clasificación de datos: valores matemáticos en las obras de arte.

2. LOGROS ESPERADOS EN LOS ESTUDIANTES

- Cuestionar cuál es la mejor manera de copiar un cuadro y a partir de allí desarrollar una reflexión sobre las proporciones.

- Contrastar sus hallazgos intuitivos con los conocimientos que les aporta el maestro.

- Explorar y representar las dimensiones y proporciones en las obras de la exposición.

- Demostrar habilidad para la descripción de configuraciones espaciales.

- Socializar y argumentar sus hallazgos, prestar respetuosa atención a los de sus compañeros.

- Reconocer relaciones entre la obra de arte y valores matemáticos en un contexto histórico.

3. RECURSOS NECESARIOS

- Un espejo grande o espejitos individuales para cada estudiante

- Ocho papeles translúcidos (mantequilla, de seda, etc.) de tamaño pliego

- Fotocopias en tamaño media carta

- Regla, escuadra, lápiz y borrador

4. PROCESO PEDAGÓGICO

• Contemplación:

En una primera instancia se invita a los estudiantes a buscar el cuadro que más les guste. Una vez lo han escogido se les invita a observarlo cuidadosamente y a contarle a sus compañeros que fue lo que les llamó más la atención (El trabajo puede hacerse por grupos, pueden reunirse los niños que escogieron el mismo cuadro). Sería interesante derivar la discusión hacia los elementos compositivos del cuadro, que el profesor les pregunte cómo se vería el cuadro al revés, reflejado en un espejo, si fuera más pequeño, si uno mirara sólo un pedazo… (con el espejo a mano).

A continuación se plantea el problema por resolver: ¿cómo copiar el cuadro lo más exacto posible, a lápiz (sin colores), en una hoja blanca tamaño carta?

Se invita a los alumnos a proceder a copiarlo lo más cuidadosamente que puedan. En este ejercicio el profesor no debe corregir, ni dirigir, ni hacer juicios de valor. Cuando los alumnos le pregunten qué tal quedó el dibujo, él deberá devolverles la pregunta para qué ellos examinen su propio dibujo y vean los aciertos y desaciertos.

El profesor puede animar este ejercicio señalando como todos los grandes artistas han aprendido a pintar copiando cuadros de otros artistas.

Nota: Este ejercicio puede comenzarse en una sesión de clase para continuarlo en una siguiente.

• Socialización e identificación de conceptos clave

Representantes de cada grupo exponen ante el curso en pleno los resultados de la exploración realizada, precisando conceptos, argumentando hallazgos. Se comparan los distintos dibujos y se ve en qué se parecen más al cuadro, en qué se diferencian. El profesor hace preguntas relacionadas con los tamaños de las partes, la ubicación en la hoja, y va conduciendo la discusión hacia una concienciación de la importancia de las proporciones.

Para cerrar la sesión el profesor plantea este criterio: una copia perfecta es aquella en la que las proporciones son las mismas que en la obra original. Los invita a que cada uno se pregunte: ¿Qué problema tengo en este sentido?

• Solución del problema y demostración de resultados

El profesor recoge las reflexiones que éstos hicieron respecto a sus trabajos según la pregunta anterior, y a partir de ellas llega a proponer un método para hacer copias exactas: la cuadrícula. Se les entrega a los estudiantes una fotocopia reducida de la obra, más pequeña que la hoja carta con la que trabajarán haciendo la copia, para que observen también la posibilidad de cambio de tamaño que ofrece esta técnica. Los alumnos deben trazar una cuadrícula en una hoja tamaño carta en blanco, teniendo cuidado de que todos los cuadrados de la cuadrícula tengan las mismas dimensiones. Aprovechando la guía de la cuadrícula todos deben intentar hacer ahora una nueva copia del cuadro. Al final deben mirar los nuevos resultados y compararlos con los viejos. ¿Son mejores las copias? ¿En qué sentido sí lo son? ¿En qué sentido no? ¿Qué se gana al usar la cuadrícula? ¿Qué se pierde?

• Complementación del trabajo logrado, desde una perspectiva histórica y cultural

Puede ser que el maestro vuelva sobre las obras con sus alumnos y retome aquellas que éstos habían señalado, relacione el momento histórico en el que se realizó la obra con el estado de la investigación matemática en esa misma época, en relación con el tema tratado.

• Evaluación

La visita-taller se evalúa solicitándoles a los estudiantes que recojan, paso a paso, lo realizado: cómo se sintieron, qué aprendieron, qué se les dificultó, qué sugieren para cada uno de los momentos que se vivieron en el taller. A esta evaluación es mejor dedicarle toda una clase.

• Proyecciones de este ejercicio

Es interesante que los alumnos noten cómo en la copia metódica se puede perder algo de la espontaneidad de la otra copia. Una pregunta interesante resulta ser: ¿cómo hacer copias lo más exactas posibles y a la vez espontáneas? ¿Cómo lo harían los artistas clásicos? ¿Cómo lo hacen los copistas profesionales? ¿Cómo lo hacen los falsificadores? Aquí puede surgir también una reflexión interesante sobre la relación entre el original y la copia.

Hay muchos ejercicios que se pueden hacer matemáticamente. Uno muy interesante consistirá en buscar la manera de calcular los tamaños de las partes de la imagen original a partir de medir los tamaños en el dibujo que tienen los niños. Se puede exponer el uso aquí del teorema de Tales sobre las proporciones y se puede iniciar una reflexión sobre la unidad de medida.

B. Ejemplo 2. El punto y la línea; movimiento en el espacio pictórico y escultórico

Ejercicio para desarrollar con estudiantes de 10° a 11°.

1. TEMAS DE EXPLORACIÓN A PARTIR DE LA MUESTRA:²

- Pensar con los números: los números reales

- Pensar con la geometría: describo curvas y lugares geométricos

- Pensar con las medidas: procesos de aproximación sucesiva

2. LOGROS ESPERADOS EN LOS ESTUDIANTES:

- Cuestionan cómo serían los procesos de representación del movimiento que muestran las obras.

- Contrastan las diferentes expresiones de movimiento que representan los cuadros.

- Exploran y representan gráfica y expresivamente la síntesis lineal de los movimientos y tensiones de uno o varios cuadros.

- Demuestran cómo llegar a la construcción de una línea.

- Socializan y argumentan sus hallazgos, prestan atención respetuosa a los de sus compañeros.

- Reconocen  el estado de la investigación matemática sobre el tema tratado en relación con el momento histórico en el que se realizaron las obras.

- Continúan averiguando relaciones entre el concepto matemático de punto y línea y la obra artística. Ideas sobre este tema en el poeta Borges.

3. RECURSOS NECESARIOS

- Lápiz y papel.

4. PROCESO PEDAGÓGICO

• Contemplación

En una primera instancia se invita a los estudiantes a recorrer la muestra en grupos de tres, preguntándose qué le daría nacimiento a este tema en la mente del artista, cómo concebiría la obra, por dónde empezaría a pintar el cuadro, dónde haría la primera pincelada, cómo iría dándole forma, cómo iría trazando direcciones en el espacio como por ejemplo la verticalidad de la figura de La gitana con pandereta, las líneas ondulantes del cuadro de Miró o las distintas direcciones en el espacio que sugieren las figuras del cuadro de Una Familia de Botero. Cómo sería este proceso en la escultura. Se les invita a comentar entre sí cuáles direcciones de las que presentan las obras les parecen que representan movimientos más activos, cuáles medios, cuáles mayor quietud. Qué movimientos crean tensiones en el cuadro.

A continuación se invita a cada uno a escoger el cuadro que más le guste para hacer un análisis más detallado, representando la síntesis lineal de estos movimientos y tensiones en un cuaderno, únicamente con lápiz. Se les pide que imaginen en qué punto comenzaría el artista a plantearse la dirección de cada una de las figuras cuyo movimiento o dirección en el espacio vayan sintetizando, incluyendo horizontes.

Otro ejercicio posible. Trabajar las obras como reproducciones impresas en tanto que se pueden desarrollar actividades orientadas a pensar en cuál es el elemento mínimo en la técnica de la reproducción de impresos. Se puede hacer una analogía también con los píxeles de la pantalla.

• Socialización e identificación de conceptos clave

Representantes de cada grupo exponen ante el curso en pleno los resultados de la exploración realizada, precisando conceptos, argumentando hallazgos. Se van recogiendo las distintas maneras de reconocer las direcciones lineales. Se puede plantear el ejercicio como un concurso en el que gana el grupo que identifique más tipos de direcciones en el espacio de las obras. Cada uno tiene que defender ante los otros que en efecto las líneas trazadas representan movimiento o quietud en las obras escogidas. Así mismo, por qué creen que el artista planteó la dirección de una u otra figura a partir de tal o cual punto. Esto, preferiblemente volviendo sobre las obras mismas.

• • Solución del problema y demostración de resultados

El profesor retoma los dibujos y hace alusión a éstos, presenta la diferencia entre las funciones continuas y discontinuas. Para curvas conocidas (parábola, elipses,...) se analiza qué puntos están determinados y cuáles no. Se nota como todas las curvas que corresponden a polinomios son “suaves”, no hay quiebres y no tienen discontinuidades. ¿Qué curvas tienen discontinuidades?, ¿cómo se representan líneas que no son suaves?

Y para volver a la reflexión matemática se vuelve a la pregunta básica: ¿Qué es un punto? ¿Una línea está compuesta de puntos? ¿Surge la línea del “movimiento” de un punto? ¿No es el movimiento de un punto algo análogo a una pincelada? ¿Podría hacerse una analogía entre el ‘punto de partida’ de un cuadro, en la mente de su autor o sobre el lienzo?

• Complementación del trabajo logrado, desde una perspectiva histórica y cultural

Puede ser que el maestro vuelva sobre las obras con sus alumnos y retome aquellas que éstos habían señalado, relaciona el momento histórico en el que se realizó la obra con el estado de la investigación matemática en esa misma época, en relación con el tema tratado.

• Evaluación

La visita-taller se evalúa solicitándoles a los estudiantes que recojan paso a paso lo realizado: Cómo se sintieron, qué aprendieron, qué se les dificultó, qué sugieren para cada uno de los momentos que se vivieron en el taller. A esta evaluación es mejor dedicarle toda una clase.

• Proyección

Se puede leer con los alumnos El libro de arena de Borges para continuar la reflexión sobre la naturaleza del punto.

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1. Según estándares básicos para 5º de básica primaria del Ministerio de Educación Nacional.

2. Según un estándares básicos para 10º y 11º de básica secundaria del Ministerio de Educación Nacional.

III. BIBLIOGRAFÍA SUGERIDA:

• ECO, Humberto. Historia de la belleza. Barcelona, Editorial Lumen. 2004. Número topográfico: 999 E26a1.

• FEDERICI CASA, Carlo. Sobre la resolución de problemas y la numerosidad. Bogotá, Fondo de Publicaciones Gimnasio Moderno. 2001. Número topográfico: 510.7 F33s.

• GUENARD & LELIEVRE (eds). Pensar la matemática. Barcelona, Tusquets Editores. 1984. Número topográfico: 510.1 S35p.

• HOFFSTADTER, Douglas. Gödel, Escher y Bach. Barcelona,Tusquets Editores. 1987. Número topográfico: 510.1 H63g.

• KASNER / NEWMAN. Matemáticas e imaginación. Barcelona, Salvat Editores, 1987. Número topográfico: 510 K17m3.

• STEWART, Ian. De aquí al infinito. Las matemáticas de hoy. Barcelona, Crítica. 2004. Número topográfico: 510 S73d1.

Perspectiva

• PANOFSKY, Erwin. La perspectiva como forma simbólica. Barcelona, Tusquets Editores. 1999. Número topográfico: 742 P15p1.

• GOMBRICH, Ernst Hans J. Arte e ilusión. Barcelona, G. Pili. 1979. Número topográfico: 701.15 G65a.

Matemáticas y literatura

• MARTÍNEZ, Guillermo. Crímenes imperceptibles. Bogotá, Planeta, 2004. Número topográfico: A863.6 M17c7.

Enlaces en Internet :

• Biblioteca Luis Ángel Arango

• Wikipedia

• La perfección visible: matemática y arte (pdf)

• ARTNODES: revista digital impulsada per la Universitat Oberta de Catalunya que té per objecte l'anàlisi de les interseccions entre les arts, les ciències i les tecnologies.

• Galileo: webzone

• Glossary

• Matemática y el arte. Entrevista a una docente

• Mathematics: From Wikipedia, the free encyclopedia


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